Spis treści
Wstęp
W artykule omówiono obliczenie mocy transferu ciepła z poziomych i pionowych płaskich powierzchni ciała umieszczonej w „bezwymiarowej” przestrzeni powietrznej z wymuszoną i naturalną konwekcją, biorąc pod uwagę komponent promieniowania przenoszenia ciepła.
Znając współczynnik przeniesienia ciepła na powierzchni (α), który oddziela korpus stały i przestrzeń powietrza otaczająca ten korpus, bardzo proste jest określenie mocy strumienia ciepła (Q) przez znaną różnicę temperatur (ΔT).
$$Q=\alpha\cdot A\cdot \delta t $$
Jest to wzór na moc przepływu ciepła z lub do powierzchni ciała.
$\alpha=\alpha_ k+\alpha _p$, $\frac{W}{m^2 \cdot K}$ – całkowity współczynnik przenikania ciepła na granicy powierzchni powietrza i ciała
$\alpha_k=?$, $\frac{W}{m^2 \cdot K}$ – współczynnik konwekcyjnego przejmowania ciepła
$\alpha_p=\epsilon\cdot5,67\cdot10^-8 \cdot \frac{(t_n+273,15)^4-(t_w +273,15)^4}{t_n-t_w}$, $\frac{W}{m^2 \cdot K}$ – współczynnik przenikania ciepła (przenikanie ciepła przez promieniowanie ),
$\epsilon$ to stopień emisyjności powierzchni
$A, m_2$ – powierzchnia
$\Delta t=|t_p-t_w|, K$ – różnica temperatur między powierzchnią a powietrzem
$t_p, ^\circ C$ – temperatura powierzchni
$t_v, ^\circ C$ – temperatura powietrza
Główna trudność obliczeń polega na określeniu współczynnika konwekcyjnego przenoszenia ciepła $\alpha_k$. Niestabilność procesu konwekcji naturalnej w pobliżu powierzchni o różnych kształtach i położeniach w przestrzeni dała początek szerokiej gamie wzorów empirycznych do obliczania współczynnika konwekcyjnego przejmowania ciepła ($\alpha_k$). Nieuniknione błędy w danych eksperymentalnych doprowadziły do tego, że wyniki obliczeń dla tych samych powierzchni i warunków według wzorów różnych autorów różnią się od siebie o 20% lub więcej.
Po dokładnym i szczegółowym zapoznaniu się z materiałami współczesnych publikacji dotyczących wymiany ciepła wybrano wzory zalecane do stosowania przez większość autorów.
Schematy wymiany ciepła:
Na poniższych rysunkach przedstawiono 8 układów, dla których można wykonać obliczenia. Różowy kolor płyt wskazuje, że są one gorętsze niż otaczające powietrze. Kolor niebieski – płyty są zimniejsze od powietrza.
Na schematach 1a i 1b wystepuje wymuszony przepływ powietrza (wentylator, wiatr) wzdłuż powierzchni płyty, niezależnie od jego orientacji w przestrzeni. Na pozostałych powietrze otoczenia jest w stanie spoczynku, a położenie płyt jest zorientowane w przestrzeni.
Obliczenia
Wzory do obliczeń:
$$t_0=\frac{t_W+t_P}{2}$$
$$l_0=L \space – \space dla \space układów \space 1a \space i\space1b$$
$$I_0=\frac{W \cdot L}{2 \cdot (W+L)} \space – \space dla \space układów \space 2a, \space 2b, \space 3a,\space 3b, \space 4a, \space 4b$$
Do wyznaczenia parametrów termofizycznych powietrza w temperaturze wyznaczania ($t_0$) w zakresie -70°C … +1200°C wykorzystano wzory:
$$R_e=\frac{w\cdot I_0}{\nu}$$
$$G_r=\frac{g\cdot \beta \cdot |t_P- t_W| \cdot {l_0}^3}{\nu ^2}$$
$$R_a=G_r \cdot P_r$$
| Układ | Ograniczenia | Równania dla liczy Nusselta, Nu |
|---|---|---|
| 1a, 1b | $R_e\leq5\cdot10^5$ | $Nu=0,664\cdot R_e^ \frac{1}{2} \cdot P_r^ \frac{1}{3}$ |
| $5\cdot10^5<R_e\leq3\cdot 10^7$ | $Nu=0,037\cdot R_e^{0,8} \cdot P_r^{0,43}$ | |
| 2a, 2b | $R_a\leq 10^9$ | $Nu=0,68+\Large{\frac{0,67\cdot R_a^\frac{1}{4}}{ \left(1+\left( \frac{0,492}{P_r}\right)^\frac{9}{16}\right)^\frac{4}{9}}}$ |
| $10^9<R_a\leq 10^{12}$ | $Nu=\left(0,825+\Large{\frac{0,387\cdot R_a^\frac{1}{6}}{ \left(1+\left( \frac{0,492}{P_r}\right)^\frac{9}{16}\right)^\frac{8}{27}}}\right)^2$ | |
| 3a, 3b | $10^4<R_a\leq 10^7$ | $Nu=0,54\cdot R_a^\frac{1}{4}$ |
| $10^7<R_a\leq 10^{11}$ | $Nu=0,15\cdot R_a^\frac{1}{3}$ | |
| 4a, 4b | $10^5<R_a\leq 10^{11}$ | $Nu=0,27\cdot R_a^\frac{1}{4}$ |
| Układ | Definiowanie parametrów | |
|---|---|---|
| Temperatura $t_0$ | Rozmiar, $l_0$ | |
| 1a, 1b | $$t_0=\frac{t_W+t_P}{2}$$ | $$l_0=L$$ |
| 2a, 2b | ||
| 3a, 3b | $$l_0=\frac{W\cdot L}{2\cdot(W+L)}$$ | |
| 4a, 4b | ||
$$\alpha_K=Nu\cdot \frac{\lambda}{l_0}$$
$$\alpha_p=\varepsilon \cdot 0,00000005670367 \cdot \frac{(t_P+273,15)^4-(t_W+273,15)^4)}{(t_P-t_W)} \qquad – \space dla \space t_W<t_P$$
$$ \alpha_r=0 \qquad – \space dla \space t_W<t_P\quad (^*$$
$$\alpha=\alpha_k+\alpha_r$$
$$q=\alpha\cdot(t_P-t_W)$$
$$Q=q\cdot W \cdot L$$
*) Nagrzewanie powierzchni przez Słońce lub inne źródła promieniowania cieplnego jest pomijane.
Obliczenie parametrów termofizycznych powietrza i liczby Nusselta, jak widać z powyższych wzorów, jest kluczowe i najbardziej pracochłonne w wyznaczaniu współczynnika konwekcyjnego przejmowania ciepła. Odchylenia wyników na ogół nie przekraczają ±5%.
Dodatek do konwekcji naturalnej na powierzchni pionowej
Jeśli zbudujesz wykresy według powyższych wzorów Churchilla i Chu dla liczby Nusselta z konwekcją naturalną w pobliżu pionowej powierzchni izotermicznej (schematy 2a i 2b), to zobaczysz, że przy Ra=109 krzywe nie pasują do siebie!
Dlatego autorzy formuł Churchilla i Chu podają w przybliżeniu następujące wyjaśnienie: „równanie oparte na badaniach Churchilla i Usagi $Nu=(0,825+\large{\frac{0,387\cdot R_a^\frac{1}{6}}{ (1+( \frac{0,492}{P_r})^\frac{9}{16})^\frac{8}{27}}})^2$ daje dobre wyniki dla średniego przepływu ciepła w konwekcji swobodnej na izotermicznej płycie pionowej w całym zakresie Ra i Pr od 0 do ∞, nawet jeśli nie działa, aby wskazać dyskretne przejście od przepływu laminarnego do turbulentnego ”. Linhards w zauważa, że rozważane równanie jest nieco mniej dokładne dla warunków laminarnych przy Ra<109 i zaleca stosowanie pierwszego równania tych samych autorów $Nu=0,68+\large{\frac{0,67\cdot R_a^\frac{1}{4}}{ (1+( \frac{0,492}{P_r})^\frac{9}{16})^\frac{4}{9}}}$. Chociaż sądząc po wykresach, w zakresie Ra<107 dla powietrza obie funkcje są do siebie bardzo zbliżone.
Kolejny niuans, który znalazł tylko Linhards: „właściwości płynu należy oceniać w $t_0=\large{\frac{t_w+t_r}{2}}$ z jednym wyjątkiem, jeśli płyn jest gazem, to współczynnik rozszerzalności objętościowej β należy wyznaczyć w $t_0=t_w$. Ale sami autorzy zależności, Churchill i Chu, nie piszą nic o takim stanie. W związku z tym ich artykuł stwierdza, że „dla dużych różnic temperatur, gdy właściwości fizyczne znacznie się różnią, Ead zaleca ocenę właściwości fizycznych jako średnich wartości temperatur powierzchni i objętości, a Wylie podaje bardziej szczegółowe wytyczne teoretyczne dla laminarnej warstwy granicznej”.